Rules of Replacement

• Double negation law

  • $\neg \neg p\equiv p$

• Commutativity

  • (AND) $p\wedge q\equiv q\wedge p$
  • (OR) $p\vee q\equiv q\vee p$

• Associativity

  • (AND) $(p\wedge q)\wedge r\equiv p\wedge (q\wedge r)$
  • (OR) $(p\vee q)\vee r\equiv p\vee (q\vee r)$

• Distributivity

  • (OR over AND): $(p\vee (q\wedge r))\equiv ((p\vee q)\wedge (p\vee r))$
  • (AND over OR): $(p\wedge (q\vee r))\equiv ((p\wedge q)\vee (p\wedge r))$

• De Morgan’s laws

  • $\neg (p\wedge q)\equiv (\neg p)\vee (\neg q)$
  • $\neg (p\vee q)\equiv (\neg p)\wedge (\neg q)$

• Identity laws

  • $p\wedge T\equiv p$
  • $p\vee F\equiv p$

• Domination laws

  • $p\vee T\equiv T$
  • $p\wedge F\equiv F$

• Idempotency

  • (AND): $p\wedge p\equiv p$
  • (OR): $p\vee p\equiv p$

• Absorption laws

  • $p\vee d$

• Contraposition

  • $p\to q\equiv (\neg q)\to (\neg p)$

• Exportation

  • $p\to (q\to r)\equiv (p\wedge q)\to r$

• Negated conditionals

  • $\neg (p\to q)\equiv p\wedge (\neg q)$

• Material implication

  • $p\to q\equiv \neg p\vee q$

• Logical biconditional

  • $p\leftrightarrow q\equiv (p\to q)\wedge (q\to p)$
  • $p\leftrightarrow q\equiv (p\wedge q)\vee ((\neg p)\wedge (\neg q))$

• todo

• todo $((a\to b)\to c)⊢(a\to (b\to c))$